Modelo de Reed-Frost

O Modelo de Reed-Frost é um modelo epidêmico estocástico criado na década de 1920 pelo matemático Lowell Reed e médico Wade Hampton Frost, ambos professores da Universidade Johns Hopkins. Apesar de originalmente eles utilizarem o modelo em 1925, em suas aulas de epidemiologia, somente na década de 1950 a formulação matemática foi publicada e transformada em um programa de TV.

História

Lowell Reed no programa Epidemic theory: what is it? , apresentando o modelo criado por ele e Frost.

Durante a década de 1920, o matemático Lowell Reed e o médico Wade Hampton Frost desenvolveram um modelo de cadeia binomial para a propagação de doenças, utilizado nas suas aulas de bioestatística e epidemiologia na Universidade Johns Hopkins. Apesar de não terem publicado seus resultados, vários outros acadêmicos fizeram referência a eles em seus estudos. Somente em 1950 a formulação matemática foi publicada e transformada em um programa de televisão intitulado Epidemic theory: what is it?.

No programa, Lowell Reed, após explicar a definição formal do modelo, demonstra a sua aplicação por meio de uma experimentação com bolas de gudes de diferentes cores.

Aqui, Lowell Reed demonstra o uso do modelo, despejando bolas de gude na calha para simular um período de tempo de uma epidemia.

O modelo é uma extensão do que foi proposto por H. E. Soper em 1929 para o sarampo. O modelo de Soper era determinístico, em que todos membros da população eram igualmente suscetíveis à doença e tinham poder infeccioso, a capacidade de transmitir doenças. O modelo também se baseou na lei de ação das massas, para que a taxa de infecção em um determinado momento fosse proporcional ao número de suscetíveis e infecciosos naquela época. Ele é eficaz para populações moderadamente grandes, mas não leva em consideração vários infecciosos que entram em contato com o mesmo indivíduo. Portanto, em pequenas populações o modelo superestima muito o número de indivíduos suscetíveis que se tornam infectado.

Reed e Frost modificaram o modelo Soper para levar em consideração o fato de que apenas um novo caso seria produzido, se um determinado suscetível tivesse contato com dois ou mais casos. O modelo Reed-Frost tem sido amplamente utilizado e tem servido como base para o desenvolvimento de estudo de simulação de propagação de doenças mais detalhado.

Descrição

O modelo de Reed-Frost é um modelo epidêmico SIR, em que S denomina a classe de suscetível para a doença em questão, I para os infectados (assumimos que todos infectados são infecciosos) e R para removidos ou recuperados.

Estados do modelo epidêmico SIR.

O modelo trabalha com o tempo discreto, em que as infecções ocorrem em gerações (semelhante a um processo de ramificação). Os eventos probabilísticos de uma geração dependem apenas da geração anterior, além disso são descritos com uma probabilidade binomial. Por isso tudo, o modelo também é conhecido por modelo de cadeia binomial.

O modelo é baseado nas premissas:

1. A população é fechada (taxas de morte, nascimento, imigração e emigração não são consideradas).
2. A infecção ocorre por meio de contatos infecciosos (aqueles em que é possível ocorrer a infecção) com indivíduos infectados e somente assim.
3. Os contatos são independentes.
4. Qualquer indivíduo suscetível, após um contato infeccioso, torna-se infectado no tempo seguinte. Em outras palavras, não há intervalo de tempo entre a mudança de estado de suscetível para infectado.
5. Os infectados são removidos após uma unidade de tempo (geração).

Uma das ferramentas mais importantes nos modelos matemáticos epidemiológicos é o número básico de reprodução (ou taxa básica de reprodução) usualmente denotado por ${\displaystyle R_{0}}$. A partir dele, é possível afirmar se ocorrerá ou não um surto epidêmico. No modelo de Reed-Frost, ${\displaystyle R_{0}=p.N}$ ou ${\displaystyle R_{0}=p(N-I_{0})}$, em que ${\displaystyle N}$ é o número total da população e ${\displaystyle I_{0}}$ a quantidade inicial de infectados.

Abordagem Matemática

Sejam ${\displaystyle S_{j}}$ e ${\displaystyle I_{j}}$ o número de suscetíveis e infectados respectivamente no tempo ${\displaystyle j}$. Sendo ${\displaystyle q}$ a probabilidade de escapar de um contato infeccioso, a cadeia binomial de Reed-Frost possui as probabilidades condicionais:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\Pr(I_{j+1}=i_{j+1}\mid S_{0}=s_{0},I_{0}=i_{0},\cdots ,S_{j}=s_{j},I_{j}=I_{j})&=\Pr(I_{j+1}=i_{j+1}\mid S_{j}=s_{j},I_{j}=i_{j})\\=&{\binom {s_{j}}{i_{j+1}}}(1-q^{i_{j}})^{i_{j+1}}(q^{i_{j}})^{s_{j}-i_{j+1}}.\end{aligned}}}$

Em que ${\displaystyle S_{j+1}=S_{j}-I_{j+1}}$. Isso significa que um indivíduo suscetível na geração ${\displaystyle j}$, permanece suscetível se escapar de todos os infectados da sua geração, e os contatos infecciosos são independentes. Além disso, dado os estados inicias ${\displaystyle S_{0}=n}$ e ${\displaystyle I_{0}=m}$ a probabilidade da cadeia completa: ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k},i_{k+1}=0}$ é obtida condicionando sequencialmente e utilizando as propriedades da cadeia de Markov. Isto é, seja ${\displaystyle s_{j+1}=s_{j}-i_{j+1}}$, temos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&\Pr(I_{1}=i_{1},\cdots ,I_{k}=i_{k},I_{k+1}=0\mid S_{0}=n,I_{0}=m)\\&=\Pr(I_{1}=i_{1}|S_{0}=n,I_{0}=m)\times \cdots \times \Pr(I_{k+1}=0\mid S_{k}=s_{k},I_{k}=i_{k})\\&={\dbinom {n}{i_{1}}}(1-q^{m})^{i_{1}}(q^{m})^{n-i_{1}}\times \cdots \times {\dbinom {s_{k}}{0}}(1-q^{i_{k}})^{0}(q^{i_{k}})^{s_{k}}.\end{aligned}}}$

Um outro fator importante no estudo de uma epidemia é a quantidade total de infectados. Para encontrá-la, usa-se a fórmula ${\displaystyle Z=\sum _{j\geq 1}Y_{j}}$ (note que os primeiros infectados são excluídos). Para encontrar a probabilidade de ter-se ${\displaystyle z}$ infectados, soma-se todas as probabilidades tal que ${\displaystyle |y|=\sum _{j\geq 1}y_{j}=z}$, ou seja,

${\displaystyle \Pr(Z=z|S_{0}=n,I_{0}=m)=\sum _{y:|y|=z}\Pr(I_{1}=i_{1},\cdots ,I_{k}=i_{k},I_{k+1}=0|S_{0}=n,I_{0}=m).}$

Perceba que se ${\displaystyle I_{j}=0\Rightarrow I_{j+1}=0}$. Isso implica que só é possível ter um novo infectado, se existe algum indivíduo infectado. Portanto, o tamanho da cadeia não pode ser maior do que o número total de infectados, tornando o número de possibilidades de cadeias finito.

Finalmente, obtêm-se o número de novos suscetíveis e pessoas recuperadas, respectivamente, pelas equações:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&S_{j+1}=S_{j}-I_{j+1},\\&R_{j+1}=R_{j}+I_{j}=\sum _{r=0}^{j}I_{r}.\end{aligned}}}$

Como a população é fechada, ${\displaystyle S_{j}+I_{j}+R_{j}=N}$ para todo ${\displaystyle j}$. As equações acima formam o modelo de Reed-Frost.

Exemplo

Considere uma família com 3 pessoas (todas morando na mesma casa) em que uma delas está infectada e as outras duas estão suscetíveis. Esse modelo assume que os infectados são removidos após uma geração (uma unidade de tempo). Então, entre uma geração e outra, os seguintes eventos podem acontecer:

1. Nenhum dos suscetíveis é infectado;
2. Os dois são infectados;
3. Um deles é infectado.

Sejam ${\displaystyle q}$ a probabilidade de um suscetível escapar de uma infecção e ${\displaystyle p=1-q}$. Então, a probabilidade de (1) é ${\displaystyle q^{2}}$, e, nesse caso, a cadeia termina. Além disso, a cadeia também termina se (2) ocorrer - com probabilidade ${\displaystyle p^{2}}$. O caso (3) possui mais implicações.

A probabilidade de (3) ocorrer é ${\displaystyle 2pq}$. Na próxima geração, a casa terá um infectado e um suscetível somente. A partir daí, podem acontecer dois eventos: o suscetível não é infectado com probabilidade ${\displaystyle q}$, e então teremos a probabilidade final ${\displaystyle 2pq.q=2pq^{2}}$, ou o suscetível é infectado com probabilidade ${\displaystyle p}$, e a probabilidade final é ${\displaystyle 2p^{2}q}$. A tabela abaixo ilustra esse caso com diferentes valores de ${\displaystyle p}$.

Cadeia	Probabilidades	com ${\displaystyle p=0,4}$	com ${\displaystyle p=0,7}$	Número final de infectados
${\displaystyle 1\rightarrow 0}$	${\displaystyle q^{2}}$	0,360	0,90	1
${\displaystyle 1\rightarrow 1\rightarrow 0}$	${\displaystyle 2pq^{2}}$	0,288	0,126	2
${\displaystyle 1\rightarrow 1\rightarrow 1}$	${\displaystyle 2p^{2}q}$	0,192	0,294	3
${\displaystyle 1\rightarrow 2}$	${\displaystyle p^{2}}$	0,160	0,490	3
Total	1	1,000	1,000

Ver também

• Modelos epidemiológicos
• Epidemiologia